Công trình đầu tiên đáng chú ý của Abel là sự không giải được của phương trình bậc 5 bởi căn thức (xem định lý Abel-Ruffini.) Kết quả này ban đầu được xuất bản vào năm 1824 dưới một dạng rất khó hiểu, và sau đó (1826) được viết đầy đủ hơn trong tập đầu tiên của Tạp chí Crelle. Bài toán này về sau được Évariste Galois chứng minh lại và bổ sung rất nhiều.

Các học bổng nhà nước tiếp sau đó đã cho phép ông thăm Đức và Pháp vào năm 1825, và đã ghé thăm nhà thiên văn Heinrich Christian Schumacher (1780–1850) ở Altona gần Hamburg ông trải qua 6 tháng ở Berlin, nơi ông làm quen với August Leopold Crelle, người sau đó chuẩn bị xuất bản tạp chí toán riêng của mình. Đề án này đã được ủng hộ bởi Abel, người đã đóng góp nhiều cho sự thành công của tạp chí này. Từ Berlin ông ghé qua Freiberg, và nơi đây ông đã có nhiều nghiên cứu xuất chúng trong lý thuyết về hàm số: hàm số elliptic, hàm số hyperelliptic, và một lớp mới bây giờ được biết đến như là hàm số abelian.

Vào năm 1826 Abel di chuyển về Paris, và trong suốt 10 tháng lưu lại ông đã gặp hầu hết các nhà toán học hàng đầu của Pháp; nhưng ông không được đánh giá đúng đắn, bởi vì các công trình của ông ít người biết đến, và sự khiêm tốn đã kìm hãm việc ông công bố các nghiên cứu của mình. Sự ngượng ngùng về các vấn đề tài chính, mà ông không bao giờ thoát được, cuối cùng đã làm ông phải bỏ chuyến du hành, và quay về Norway giảng dạy một giai đoạn ở Christiania. Trong đầu tháng 4 năm 1829 Crelle đã tạo ra một vị trí cho ông ở Berlin, nhưng lá thư mời đã tới Norway trễ hai ngày sau khi Abel qua đời vì lao phổi tại Froland Ironworks gần Arendal.Cái chết sớm của nhà toán học thiên tài này, người mà Adrien-Marie Legendre gọi là "quelle tête celle du jeune Norvégien!" ("một cái đầu Na Uy đáng giá!"), đã cắt ngắn đi sự nghiệp xuất chúng và nhiều triển vọng của ông. Dưới sự hướng dẫn của Abel, những điều khó hiểu trong giải thích đã sáng tỏ dần, nhiều ngành mới được mở ra và sự nghiên cứu của các hàm số đã trở nên tiến bộ để cung cấp cho các nhà toán học nhiều công cụ để đẩy mạnh sự tiến triển của ngành. Các công trình của ông, phần lớn xuất hiện lần đầu tiên trong Tạp chí của Crelle, được biên khảo lại bởi Holmboe và xuất bản vào năm 1839 bởi nhà nước Na Uy, và một bản hoàn hảo hơn biên khảo bởi Ludwig Sylow và Sophus Lie được xuất bản vào năm 1881. Tính từ "abelian", xuất phát từ tên ông, đã trở nên thông dụng trong các bài báo và sách toán đến nỗi mà người ta thường viết bằng chữ "a" thường (xem nhóm abelian và abelian category; xem thêm abelian variety và phép biến đổi Abel).

Vào 6 tháng 4 năm 1829, Abel qua đời khi mới được 28 tuổi. Vào 5 tháng 6 năm 2002, bốn tem Norwegian được phát hành để kỉ niệm Abel 2 tháng trước 200 năm ngày sinh của ông. Có một bức tượng của Abel ở Oslo. Hố Abel trên Mặt trăng được đặt theo tên ông. Vào năm 2002, giải Abel đã được thiết lập để vinh danh ông.